@笔尖上的保险
该式是将连续现金流情况下的终身生存年金在 $x$ 岁这个时点的的期望现值变动率$\frac{d}{dx}\axz{}{}{}{x}$分解为三部分：
这个式子和准备金一章里的 Thiele’s differential equation 的解释思路很类似，我列在底下你可以类比一下：
$$
\frac{d}{dt} \Vx{t}{x}=\delta_{t}\cdot \Vx{t}{x}+P_{t}-e_{t}-(S_{t}+E_{t}-\Vx{t}{x})\mu_{[x]+t}
$$
是将连续现金流情况下的保单的准备金变动率分解为四部分：利息增长；保费收入；费用支出；死亡保单自身的准备金不足对剩余有效保单准备金的影响。
定期寿险的换算函数为：
$$\actsymb{}{}{A}{}{\overset{1}{x}:\angl{n}}=\frac{M_{x}-M_{x+n}}{D_{x}}$$
$n$ 年期的期初生存年金的换算函数为：
$$\actsymb{}{}{\ddot{a}}{}{x:\angl{n}}=\frac{N_{x}-N_{x+n}}{D_{x}}$$
（1）首先列式：
$$P\actsymb{}{}{\ddot{a}}{}{30:\angl{20}}=P\frac{N_{30}-N_{50}}{D_{30}}=20000\actsymb{}{}{A}{}{\overset{1}{30}:\angl{20}}=20000\frac{M_{30}-M_{50}}{D_{30}}$$
所以：
$$P=20000\frac{M_{30}-M_{50}}{N_{30}-N_{50}}$$
（2）在UDD假设下：
$$\actsymb{}{}{\ddot{a}}{(m)}{\endowxn}=\frac{id}{i^{(m)}d^{(m)}}\actsymb{}{}{\ddot{a}}{}{x:\angl{n}}-\frac{i-i^{(m)}}{i^{(m)}d^{(m)}}(1-\Ex{n}{x})$$
其中：
$$\Ex{n}{x}=\frac{D_{x+n}}{D_{x}}$$
列式：
$$12P\actsymb{}{}{\ddot{a}}{(12)}{\endow{30}{10}}=20000\actsymb{}{}{A}{}{\overset{1}{30}:\angl{20}}$$
全部代入算出P即可。
北美精算师协会（SOA）衷心感谢大家对考试安排调整的耐心等待和理解，我们一直致力于为广大考生提供合理的考试安排。今天，我们非常高兴地宣布SOA考试将从2020年秋季笔考开始，全部改为上机考试。
SOA机考考场Prometric将一如既往地为考生们提供服务，遵循当地的指导方针和法规，为考生提供一个公平、安全的考试环境，并尽可能多地提供考试座位。SOA将于6月下旬开放秋季考试的报名，比以往开放时间提前一个月，此举将有助于考生获得考试座位。
如果由于COVID-19疫情复发，考生无法在Prometric中心参加考试，我们将通过远程监考来管理大多数考试。当然，远程监控只会在绝对必要的情况下才会使用。
我们深刻理解该调整将为考生们带来一定的挑战和压力。我们整理了变化细节，请点击以下网址查看：
https://www.soa.org/globalassets/assets/files/edu/2020/fall/soa-exams-additional-details.pdf
同时，我们期待收到考生们对于该调整的意见和建议。如您有任何问题，请直接联系SOA客户服务中心，联系方式如下：
customerservice@soa.org
asiacustomerservice@soa.org
您也可以关注我们即将开展的线上考生答疑会，或者访问相关网站获取资源。
再次感谢大家在此特殊时期对我们的理解与支持。祝愿您和家人平安健康，祝愿所有考生考试顺利！
更多考试相关资讯，请点击链接了解。
BA II Plus 的参数设定可以看：
BA_II_Plus金融计算器中文说明书.pdf
Latex数学公式，行内公式前后用一个$符号包围，行间公式用两个$号包裹
行内公式使用方法，比如这个化学公式：$\ce{Hg^2+ ->[I-] HgI2 ->[I-] [Hg^{II}I4]^2-}$
行间公式使用方法如下：
$$H(D_2) = -\left(\frac{2}{4}\log_2 \frac{2}{4} + \frac{2}{4}\log_2 \frac{2}{4}\right) = 1$$
以下是寿险和年金符号的显示效果，效果对应的Tex commands代码可以在对应公式上右键查看：
等忙过这阵子写个详细教程。
$$\actuarialangle{a}$$
$$\angl{20}$$
$$\angln$$
$$\anglk$$
$$\anglr$$
$$\term{40}{25}$$
$$\termxn$$
$$\pureendow{40}{25}$$
$$\pureendowxn$$
$$\endow{40}{25}$$
$$\endowxn$$
$$\joint{xy}$$
$$\actsymb{n|}{2}{A}{(m)}{x}$$
$$\actsymb{1}{2}{3}{4}{5}$$
$$\Ax{1}{2}{3}{4}$$
$$\Axz{1}{2}{3}{4}$$
$$\ax{1}{2}{3}{4}$$
$$\axz{1}{2}{3}{4}$$
$$\axzz{1}{2}{3}{4}$$
$$\Ex{n}{x}$$
$$\px{t}{x}$$
$$\qx{t}{x}$$
$$\sx{\angln}$$
$$\sxz{\angln}$$
$$\sxzz{\angln}$$
$$\Vx{t+1}{x}$$
请参加9月考试报名的会员，报名前务必认证阅读《考试报名指南》
我们基于考生的下列提问，更新了官网的考试常见问答专页：
9月考试是开卷考试吗？
目前全部考试转为线上，考试费用是否会变化？
为什么所有考试都在英国当地时间上午举行？
我可以在同一天参加两科不同的考试吗？
CS和CM考试都采用线上形式，我要如何完成考试呢？
我可以用微软Word里的“口述”功能答题参加考试吗？
2020年9月英国精算师考试的所有科目均采用线上考试的方式，包括4月份无法考的CS1, CS2, CM1, CM2，目前也已具备线上考试的条件。
但需要注意的是，2020年9月的考试，协会将只接受IFoA会员的报名，所以原先打算以非会员身份参加2020年9月CM1和CS1考试的同学，请务必尽快完成线上入会申请（考虑到广大考生需求，IFoA推迟了本次入会申请的时间节点至6月27日）。
CB3考试安排为特例：您可以直接登陆IFoA会员账号，随时查看和预订可供选择的时间和考位信息（前提是通过OPAT考试），目前考位开放至2020年6月29日-8月21日区间。
2020年秋季考试时间安排(暂拟安排)：
CS1, CS2, CM1和CM2报名开始：2020年7月20日，星期一
CS1, CS2, CM1和CM2报名结束：2020年8月7日，星期五(英国时间17.00)
其他所有科目报名开始：2020年7月27日，星期一
其他所有科目报名结束：2020年8月14日，星期五(英国时间17.00)
https://www.actuaries.org.uk/documents/fees-2020-exams-and-other-education-services
Core Principles subjects (CB1-2; CM1-2, CS1-2): 2020年12月15日，周二
Core Practices, Specialist Principles and Specialist Advanced subjects: 2020年12月17日，周四
详情请看以下几则 IFoA 官方微信推文：
在文字写书写不同数量的#可以完成不同的标题，如下：
代码为# 一级标题
代码为## 二级标题
代码为### 三级标题
无序列表的使用，在符号-后加空格使用。如下：
代码为：
保险赛道：1076567283
- 无序列表 1
- 无序列表 2
- 无序列表 3
如果要控制列表的层级，则需要在符号-前使用空格。如下：
代码为：
- 无序列表 1
- 无序列表 2
- 无序列表 2.1
- 无序列表 2.2
有序列表的使用，在数字及符号.后加空格后输入内容，如下：
代码为：
1. 有序列表 1
2. 有序列表 2
3. 有序列表 3
引用的格式是在符号>后面书写文字。如下：
读一本好书，就是在和高尚的人谈话。 ——歌德
代码为：
> 读一本好书，就是在和高尚的人谈话。 ——歌德
粗体的使用是在需要加粗的文字前后各加两个*。
而斜体的使用则是在需要斜体的文字前后各加一个*。
如果要使用粗体和斜体，那么就是在需要操作的文字前后加三个*。如下：
这个是粗体
这个是斜体
这个是粗体加斜体
代码为：
**这个是粗体**
*这个是斜体*
***这个是粗体加斜体***
注：由于 commonmark 标准，可能会导致加粗与想象不一致，如下
**今天天气好晴朗，**处处好风光。
这个是正常现象，请参考加粗 Issue。
链接的使用方法为[链接标题](链接网址)。例子如下所示：
为方便读者查阅【精算后花园】公众号往期文章，Jackie将文章分门别类汇总此处【精算后花园】博客文章合集目录
可以在一行中用三个以上的减号---来建立一个分隔线，同时需要在分隔线的上面空一行。如下：
删除线的使用，在需要删除的文字前后各使用两个~，如下：
这是要被删除的内容。
代码为：
~~这是要被删除的内容。~~
可以使用冒号来定义表格的对齐方式，如下：
| 姓名 | 年龄 | 工作 |
|---|---|---|
| 小可爱 | 18 | 吃可爱多 |
| 小小勇敢 | 20 | 爬棵勇敢树 |
| 小小小机智 | 22 | 看一本机智书 |
代码为：
| 姓名 | 年龄 | 工作 |
| :----- | :--: | -------: |
| 小可爱 | 18 | 吃可爱多 |
| 小小勇敢 | 20 | 爬棵勇敢树 |
| 小小小机智 | 22 | 看一本机智书 |
插入图片，如果是行内图片则无图例，否则有图例，格式如下：
代码为：
支持 jpg、png、gif、svg 等图片格式，其中 svg 文件仅可在微信公众平台中使用，svg 文件示例如下：
如果在一个行内需要引用代码，只要用反引号引起来就好，如下：
Use the printf() function.
代码为：
Use the `printf()` function.
在需要高亮的代码块的前一行及后一行使用三个反引号，同时第一行反引号后面表示代码块所使用的语言，如下：
// FileName: HelloWorld.java
public class HelloWorld {
// Java 入口程序，程序从此入口
public static void main(String[] args) {
System.out.println("Hello,World!"); // 向控制台打印一条语句
}
}
支持以下语言种类：
bash
clojure，cpp，cs，css
dart，dockerfile, diff
erlang
go，gradle，groovy
haskell
java，javascript，json，julia
kotlin
lisp，lua
makefile，markdown，matlab
objectivec
perl，php，python
r，ruby，rust
scala，shell，sql，swift
tex，typescript
verilog，vhdl
xml
yaml
diff 不能同时和其他语言的高亮同时显示，且需要调整代码主题为微信代码主题以外的代码主题才能看到 diff 效果，使用效果如下:
+ 新增项
- 删除项
$m_x$ 是中心死亡率（central rates of mortality），定义为：
$$m_{x}=\frac{q_{x}}{\int_{0}^{1} t p_{x} d t}$$
在英精小黄书（Tables）的 121 页可以查到 $m_{x}$ 的另外一个式子:
$$m_{x}=\frac{d_{x}}{\int_{0}^{1} l_{x+t} d t}$$
在 UDD 假设下， $m_{x}$ 可以进一步近似为：
$$m_{x} \approx \frac{q_{x}}{1-\frac{1}{2}q_x}$$
这个知识点在部分英国学校里会放在寿险精算科目。而在新体系的英国精算师考试中，该知识点在 CS2 的 Chapter 06: Survival models 中。
每逢期末季或备考季，常有第一回参加精算考试的考生忐忑不安地来公众号后台问：
这个科目难度大吗？需要看哪些教材,做多少题？
还有XX周时间，我考XX科目来得及吗？备考需要多少时间？
这个知识点会不会考？这个知识点怎么考？
其实在2018年年底，我在 漫谈英国精算师考试 的 (五)备考方法中写过相应内容，不过一方面，既然总有同学提问说明写得还不够全面；另一方面，距离写这篇文章已经过去了一年半，在做利息理论和寿险精算的线上一对一辅导（有需要的同学加我微信AGJackie联系我，记得备注“辅导”）的备课过程中也积累了一些新的心得体会，权当自己备考的总结和反思，与大家做一分享。
你可能会遇到这样一个场景：
期末到了，但这门课还是一窍不通。连续学习了一周，却毫无进展，你有点沮丧地看了看教材，发现自己对这个世界的认知可能有问题。你挠了挠头，发现头发也不多了，于是你顿悟了：
零基础学起来会比较慢而且困难，等掌握大致的知识点以后会学得越来越快。应用心理学的“目标趋势”（goal gradient）描述的就是此类现象：当一个人越接近目标时, 促使他达到目标的激励就越强烈。
明白了这一点，相应的备考策略就清晰了：备考的第一步是把复习材料从厚读薄，也就是构建出主干的知识体系。
那么需要哪些复习材料呢？
简单来说，只需要准备两类复习材料：教材和真题。
备考英国精算师考试，必用的教材是 ActEd 出的 Combined material pack（CMP）. 教材每年都会有一个版本的更新，也就是说在社会上自己报名参加 IFoA 考试，需要用到的核心教材就是当年的 CMP. 因为改革前后的教材变动较大，所以不建议用太旧的教材。而改革以后的教材变动较小，因此用2019版的教材备考2020年的考试也完全足够。ActEd 也出了很多其他的备考辅助资料，都很不错，可按需购买。资料的介绍和购买方式可以看我的这两篇文章：
如果参加的是学校组织的 IFoA 免试认证考试， 我们分成国内和国外的学校来讲。
国内学校的免试认证，如中南财经政法大学和中央财经大学的保险精算专业，也会按照 CMP 的内容授课，但并不一定教材越新越好。比如18级的本科生，因为18年入学，所以用的还是旧体系的考纲（IFoA 官网可以找到考纲 syllabus），具体是18年的 syllabus 还是17年的 syllabus，可以问授课老师。但19级本科生应该就是新体系的 syllabus 了。比如 CM1 科目里的利息理论和寿险精算两部分实际上相对于旧大纲CT1和CT5均做了删减。【CM1导引篇】Actuarial Mathematics
英国和澳洲的学校和中外合作办学院校的免试认证，如卡斯、肯特、赫瑞瓦特、利物浦（以及在国内合办的西交利物浦）等，大体上也和 IFoA 的 syllabus 一致，但内容会更多一些。一般每门课会有讲义和历年真题，可以直接根据老师的讲义来学习。CMP 可以作为参考但不要只参考这个。比如西交利物浦大学的 MTH120 利息理论部分授课内容、平时作业（quiz、homework）和北美精算师考试更为接近，但期末考试是按照英国精算师体系来考。
IFoA 的历年真题和答案可以在官网直接下载。
备考要达到的目的是：能够在考试允许的时间范围内解决历年真题涉及的所有题型。
那么，最理想的备考方法是，把 IFoA 从2008年到2019年共计24套卷子的题目全都过一遍，总结出各章的题型。根据我备课 CM1 的经验来看，每一章的大类题型为1-4类，如果再往下细分大类题型涉及的详细考点，一般还会下分10个考点。另外，要定期对自身掌握情况和答题速度进行检验。更进一步地，还可以寻找解题技巧，解构知识点内在机理，预判出卷老师的出题思路，根据 syllabus 逐个对照考点等。
最理想的备考方法唯一的缺点就是时间问题。因此，要求解这个包含时间约束的考试分值最大化问题，制定合适的复习策略显得尤为重要。
不妨先问自己这几个问题：
回答了这几个问题，“难度大吗”、“备考需要多少时间”等问题也就迎刃而解了。
协会免试认证的校内课程，每份考题需要向协会提交 mapping，也就是每道题对应 syllabus 的哪几个考点。考点覆盖率是有严格要求的。所以根据 syllabus 来复习也是个不错的选择。
每位出题人会有自己的知识结构、出题理念和风格。这在授课老师讲课时可以揣摩个大概，所以记得认真听课喔。个人观点，对于英精体系的课程，太过繁琐的计算是不鼓励的，因为这与掌握清晰的精算原理相悖（我猜很多老师也是一样的想法）。删繁就简才是题中应有之义。
借用电影《后会无期》的台词作为本文的结尾：告别的时候一定要用力一点，多说一句，说不定就成了最后一句；多看一眼，弄不好就是最后一眼。
复习备考的时候，记得多看一眼。
精算课程在线一对一辅导，欢迎联系 Jackie 微信号：AGJackie
（目前CM1科目：利息理论、寿险精算 I、寿险精算 II 接受报名预约，对应英国和澳洲高校相应课程）
为方便读者查阅【精算后花园】公众号往期文章，Jackie将文章分门别类汇总此处。会持续更新（可于公众号下方菜单栏点击“文章索引”中的"文章合集目录"查看实时更新的目录）。本次更新时间为2020年6月1日。
点击下文中的蓝色标题链接即可查阅，欢迎读者朋友们关注、分享，也欢迎在留言区提出宝贵的建议和希望更新的内容。
本公众号的内容主要和英国精算师考试（以下简称 IFoA）相关，偶有涉及北美精算师考试（以下简称 SOA）的内容。中国精算师考试（以下简称 CAA）相关内容计划在 CAA开考后更新。
导引篇提供各科目精算师考试的学习大纲，各章节的主要知识点和考点。适合在备考相应科目前阅读。硬干货，（几乎）属于必看篇目。
目前仅录制了CT1的课程，将英国精算师考试CT1和CM1历年真题归纳为14类题型。介绍推文为：
对应的知识点和真题精讲视频共12讲，总时长为60分钟30秒：
【CM1-金融数学（利息理论）】真题题型精讲视频（共60分钟）
请粘贴以下链接到浏览器进入B站观看 https://www.bilibili.com/video/av80209522
或者直接点击下方小程序卡片观看（能一键三连支持下就更好啦）：
配套有对应的讲义和习题：
请联系 Jackie 微信号 AGJackie 免费领取
经验贴不提供具体的考点和知识点总结，只提供备考经验和心得，主观性较强。重要性低于【导引篇】。因为只有 CB2 和 CT7 的两篇，故归入对应科目下。
IFoA 各科目具体章节的知识点精讲，学习笔记，题型探究，解题技巧等，干货性较强，不讲故事。
CM1 由利息理论和寿险精算两部分组成。
CM2为金融经济学。
CS1 为概率论与数理统计。
CS2 由精算模型和非寿险精算两部分组成。
CB1 为财务与财务报表。
CB2 为经济学。
搭配某些胡编乱造的小故事，讲解IFoA的具体知识点，自认为较为生动然而阅读量通常不高的文章。
结合时事或案例，谈与精算或保险相关的知识，包括但不限于保险学原理、保险法等。
故事性更强，内容和精算相关，但（几乎完全）不涉及具体的精算知识点，可作为小说阅读。是阅读量最高的类别。
精算学习或工作中涉及的软件使用技巧。如 LaTeX，EXCEL，R，Python 等。
不易单独分类的文章。
精算课程在线一对一辅导，欢迎联系 Jackie 微信号：AGJackie
目前CM1科目：利息理论、寿险精算 I、寿险精算 II 接受报名预约，对应英国和澳洲高校相应课程。详情点击推文了解 CM1利息理论&寿险精算 一对一在线辅导 开课了！
前段时间 Jackie 做利物浦 MATH273 寿险精算 1 课程的在线辅导，根据近三年常考题型总结了一份复习课讲义，和大家做一分享。 MATH 273 和西交利物浦大学的 MATH 217 课程内容完全一致，和其他学校的寿险精算1课程内容也相近。
作为生存函数，$S_{x}(t)$ 必须满足如下三个条件：
$$\px{t}{x}=S_{x}(t)=\dfrac{S_{0}(x+t)}{S_{0}(x)}=\dfrac{1-F_{0}(x+t)}{1-F_{0}(x)}$$
$$\mu_{x}=\dfrac{f_{0}(x)}{S_{0}(x)} =-\frac{1}{S_{0}(x)} \cdot \frac{d}{d_{x}} S_{0}(x) =-\frac{\partial}{\partial x} \log S_{0}(x)$$
$$
\mathring{e_x}=E[T_{x}]=\int_{0}^{\infty}\px{t}{x}dt
$$
$$
e_{x}=E[K_{x}]=\sum_{k=0}^{\infty}k \cdot P(K_{x}=k)=\sum_{k=1}^{\infty}\px{k}{x}
$$
先来看两个通用的公式：
Integral expression for $\qx{t}{x}$:
$$
\qx{t}{x}=\int_{0}^{t}\px{s}{x}\mu_{x+s}ds
$$
Formula for $\px{t}{x}$ in terms of $\mu$:
$$
\px{t}{x}=exp(-\int_{0}^{t}\mu_{x+s}ds)
$$
在UDD和CFM假设下，非整数年龄的 $p$ 概率和 $q$ 概率可以做进一步地近似：
假设对于整数年龄 $x$ ，和 $0\leq t \leq 1$，余命的概率密度函数 $f_{T_{x}}(t) =\px{t}{x}\mu_{x+s}$ 为常数，则可以用以下公式近似计算非整数年龄的 $q$ 概率：
$$
\left{
\begin{array}{cc}
{\qx{t}{x}=t\qx{}{x}} & {0\leq t \leq 1}\
{\qx{t-s}{x+s}=\frac{(t-s)\qx{}{x}}{1-s\qx{}{x}}} & {0\leq s < t \leq 1}
\end{array}
\right.
$$
在 UDD 假设下， $l_{x}$ 在整数年龄间是线性函数，所以我们也可以用下列公式近似：
$$
l_{x+t}=l_{x}-td_{x}=(1-t)l_{x}+tl_{x+1}
$$
假设对于整数年龄 $x$，和 $0\leq t \leq 1$，死亡力函数 $\mu_{x+t} =\mu$ 是一个常数，，则可以用以下公式近似计算非整数年龄的 $p$ 概率：
$$
\left{
\begin{array}{c}
{\px{t}{x}=e^{-t\mu}=(p_{x})^{t} }\
{\px{t-s}{x+s}=e^{-(t-s)\mu}=(p_{x})^{t-s}}
\end{array}
\right.
$$
见推文 《如何有效记忆寿险精算符号》
$t$ 时刻未来损失的随机变量（Future loss random variable）记为 $L_t$：
$L_t$=PV at $t$ of future benefits + PV at $t$ of future expenses - PV at $t$ of future premiums.
例如，对于一个死亡年度末给付的终身寿险，the gross future loss random variable at the outset is:
$$
L_0=(S+f)v^{K_{x}+1}+I+e(\axzz{}{}{}{\angl{K_{x}+1}}-1)-P\axzz{}{}{}{\angl{K_{x}+1}}
$$
需要熟练掌握寿险和年金的现值随机变量的书写。
令 $E(L_0)=0$ 计算出的保费。也就是说：
EPV of premiums = EPV of benefits + EPV of expense.
例如，对于一个死亡年度末给付的终身寿险：
$$
P\axzz{}{}{}{x}=(S+f)\Ax{}{}{}{x}+I+e(\axzz{}{}{}{x}-1)
$$
可以列出式子：$P\left(L_{0}>0\right) \leq \alpha$，将未来损失的随机变量代入公式，并将其中的 $K_x$ 分离出来，转换为 $\px{t}{x}$，查表求解。
主要考未来法准备金（prospective reserve）。
一个 发行了 $t$ 年的保单的保单价值（policy value）或者未来法准备金（prospective reserve）（寿险1中可认为两者为相同概念）记为${}_{t}V$ ，表示 $t$ 时刻 future loss random variable的期望值。
$\Vx{t}{}$=EPV at $t$ of future benefits + expenses - EPV at $t$ of future premiums.
例如，对于一个死亡时立即给付的终身寿险：
$$
\Vx{t}{}^{\text{pro}}=S\Axz{}{}{}{x+t}+e\axzz{}{}{(m)}{x+t}+f\Axz{}{}{}{x+t}-G\axzz{}{}{(m)}{x+t}
$$
保额可以是单利（simple bonus）增长或复利（compound bonus）增长。单利增长的情况用递增寿险或递增年金的公式求解。复利增长的情况见 带分红寿险两种形式的复利bonus
$$
PRO_{t}=\left(\Vx{t}{}^{\prime}+G-e\right)(1+i)-q_{x+t}(S+f)-p_{x+t}\cdot \Vx{t+1}{}^{\prime}
$$
其中只有保费 $G$ 和准备金是 $\Vx{t}{}$ 按照计算保费时的假设算出来的，其余均是按照这一年里实际情况来（投资收益率、死亡率和费用率）。
类似过去法准备金的计算。记 $AS_{t}$ 为 $t$ 时刻的asset share，则将所收保费累积到 $t$ 时刻并减去保险金和索赔费用，再除以有效保单的数目，即可得到 asset share.
如果实际的投资收益率、死亡率和费用率和假设的相同，asset share 应当等于 policy value。那么考试要求评论两者差别时就可以根据投资收益率、死亡率和费用率三方面的差别来讲。
$$
\frac{d}{dt} \Vx{t}{x}=\delta_{t}\cdot \Vx{t}{x}+P_{t}-e_{t}-(S_{t}+E_{t}-\Vx{t}{x})\mu_{[x]+t}
$$
是将连续现金流情况下的保单的准备金变动率分解为四部分：利息增长；保费收入；费用支出；死亡保单自身的准备金不足对剩余有效保单准备金的影响。
商务合作，投稿，精算课程辅导等，欢迎联系 Jackie
根据赫瑞瓦特的 CT5 寿险精算课程对全书的知识点做的梳理，和协会的CT5考试内容不完全一致，适合预习或者复习CT5的时候理一遍思路。
当当当～下面就是CT5的学习笔记啦～
虽然自己也是一个小白，但是老师上课讲得挺好，我也有好好地梳理，有错误希望提醒啦～希望大家学到知识～（预警：有点点长）
整个框架是这样的：
第一章讲的就是回顾之前寿险精算Part A的内容，A部分涉及到简单的单人的生存金和年金的计算，而B涉及到多人，团体，养老金，投连险的内容，更加复杂。
老师上课跟我们说有部分知识现实生活中已经很少使用了，但是为了考试的方便，还是会教给我们，但是能学点知识总是好的嘛，有啥说错或者没说清楚的欢迎指出哦。
A的知识我没做，但是B第一章的回顾应该能满足需求。
首先，我们定义，一个人，现在 $x$ 岁，$T_x$ 年后，期间死亡概率就是很简单的 $P(T_x \leq t) = F_x(t)$，存活概率就是 $P(T_x > t) = S_x(t)$.
然后求导求出 $f(x)$，求极限求出 $x$ 岁瞬间死亡力 $\mu_x$.
还可以继续算各种期望。
之后，为了好算，生命表上有每个年纪活着的人的人数 $l_x$，然后，我们就可以利用其求出 ：
$$
\px{t}{x}=\frac{l_{x+t}}{l_x}
$$
以上都可以相互推导。
但现实生活中，人们不可能正正好好就在生日的时候逝去，我们用 $K_x$ 代替精准的 $T_x$ 进行计算，就相当于只要 $T_x$ 的整数位。
有了这些知识，就可以开始算单人的生存金和养老金了。
我们要算的就是期望。
生存金的期望：如果你在 $t$ 岁逝去，就给你1。
然后如果是年末给，你把每个点的死亡率乘以1再折个现就好。
养老金的期望：如果在 $t$ 岁生存，就给你1.
如果年初给，就是每个点累积（养老金不是只给一次的生存金）的生存率乘以1加和折现即可。
对于保险公司，根据相等原则，对于保险公司，收入的期望等于支出的期望，就可以求出该拿多少保费了。
A其实就是涉及到计算，代换各种数学小技巧。
视角转到保险公司，讲的是如何计算 policy value（保单价值）和设立 reserve（准备金），准备金必须大于或等于保单价值。
首先，我们估计保险公司的负债，也就是未来要给被保险人的钱。
当然在一开始，按简单的：
$$
EPV_{premiums}=EPV_{expenses}+EPV_{benefits}
$$
负债的现值应该与资产的现值相等。
但是，接下每一年，因为死亡率的变化，每一年资产负债不对等（保费不变的情况下，付出的 benefit 和 expense 增加或减少），所以我们就需要设立准备金。
接下来计算的准备金都是最简单的，刚好在收入保费之前的准备金，但现实中，保证金一般在某个特定的日期计算。
计算准备金，首先要计算保单价值，准备金必须大于等于保单价值。
首先是 valuation basis，估计未来的利息率，死亡率和花费，然后在这个基础上计算保单价值。
保单价值分为两种，第一是 net premiom policy values；第二是 gross premium policy values。
net是一个虚假的保单价值，用 net premium，不管未发生的 bonus（但还是要包declared bonus），不管 expense 计算的价值（但实际上所有的都是基于假设）。
虽然很简化，但是他可以跟下面 gross 计算出来的进行比较，看有哪些问题。
gross 就是全算，算 bonus 和 expense。
然后对于gross policy value：
$$
V(t)=EPV_{benefits}+EPV_{expenses}-EPV_{premiums}
$$
我们也可以反着来推：例如一个 benefit 为 1 的 whole life 保单：
$t$ 时刻的 policy value 加上马上的保费，积累到年末，就等于期望：逝去给1，活着继续积累下一年的保单价值。
$$(V(t)+ Premium )\cdot(i+1)=\qx{}{x+t}+\px{}{x+t}\cdot V(t+1)$$
然后就到了 Thiele’s differential equation，他这是计算如果保费是连续交，补偿是马上给的情况。
例如，对于一个whole life contract：
$$
\frac{d V(t)}{d t}=V(t) \delta+ Premium -\mu(DeathBenefit-V(t))
$$
证明过程蛮复杂，有兴趣可以查查。
然后就是各种技巧帮助实操计算 reserve。
一个技巧是 Euler’s theorem，可以用用第一年的 reserve（0）和最后一年的reserve（0或者 endowment 的生存金）推每一年，之后当然用 excel 算了啊。
举个例子：
$$
V(h)=V(0)+\frac{d V(t)}{d t} | t=0
$$
之后又兜兜转转来到马尔可夫，讲真，感觉大三学的全部东西除了统计模型都要来点马尔可夫。
反正就是那两个假设：
然后就算每个状态到其他状态或者停留在自己状态的概率了。
最后引出 Kolmogorov equation 和 reserve 的倒数值。
之前都是讲的一个人的，现在讲讲如果一份保单保两个人的情况。
很多现实情况是，丈夫逝去，妻子得钱，或者，丈夫妻子都逝去，另外的人的钱。
然后就涉及到两个人的生存概率和各种生存金的计算。
引入不同的标记，很多都是假设两人 independent 下得出的结论。
翻过两个人，然后来到重疾险，通常又叫收入保障保险（Income Protection Insurance）。
保单上有些注意的地方：
还得弄清三个period:
之前都是简单的恒定 transition intensity 和现金流，但现在我们要讨论的是时间对两者的影响。
为什么会有这种影响呢？
一般来说停留在生病的时间越长，康复的可能性就越小；但是对于诈病，拖延病情时间而谋取保险金的人，保险公司会按生病时间的延长来减小保险金。
下面介绍第一种因为 deferred period 带来的 duration dependence。
为了简便之后的算法，定义 $d,\px{t}{x}$ 就是现在 $x+t$ 岁生病，$x$ 岁时健康，已经生病的时间小于等于 $d$（deferred period）。
那么我们有两种情况，第一种是 $d \geq t$，显然没增加什么有用的信息，$d,\px{t}{x} = \px{t}{x}$。
第二种是 $d<t$，画个图然后求得表达式积分就好。
当保险金是 duration dependence 的话，Thiele’s equation 就不管用了。
之后又介绍第二种因为 intensities of transitions 被生病时间影响所带来的 duration dependence。
然后定义从 sick 到 healthy 的 intensity of transition 为 $dt \rho_{x+t}, z$，表示 $x+t$ 岁时生病，已经生了 $z$ 这么长的时间，会在 $x+t+dt$前康复。
之后涉及的计算就是画图、写好表达式、积分就好。
然后介绍 long term care (LTC) insurance，他可以是附加在寿险和 income protection insurance 的 rider 上，也可以是单独的一个保险。
首先要确定他是否触发 benefits，一般对 6 activities of daily living (ADLs) 进行评估（英国）: washing, dressing, feeding ,toileting, mobility and transferring。
如果3个不行，那么给 50%；超过三个，100%。
那么现在如果用 markov model 进行分析，我们就有四个状态，健全，丧失3项，3+，以及死亡。
就跟之前一样计算reserve就好。
profit testing 是经营的很重要的一环。
之前我们仅仅通过 $EPV_{premiums}=EPV_{expenses}+EPV_{benefits}$ 来计算整体的 premium，但是对于保险公司，他需要计算年度的现金流和各种其他事项来分析整体的情况，所以，想之前那样不变更 premium 和 interest rate 来大概的计算已经不能满足。
所以引入 cashflow 和 profit signature。
这章就需要完全用 excel 分析，每行每列弄好就成。
Cash flow：CFt = (premium - expense)(1+interest rate) - benefits
就可以算出每年的 $CF_t$ 后，我们需要计算 profit signature(CFt-increase in reserve)*survival probability，然后累计加和折现就得到我们的现值。
然后我们就可以用四种方法来 profit testing。
第一个 expected profit at RDR (risk discount rate) 是全部现值（用 risk discount rate 折现后）加和是否大于之前做的目标。
第二个是 profit margin：利润的现值/保费现值（at RDR），跟之前的目标比对
上面两个都是跟之前的目标进行对比。
第三个是 discount payback period (DPP)：就是计算出最少时间，利润现值大于等于0，并与之前进行对比。
第四个是 internal rate of return：计算出 interest rate 使现值等于0，再跟 RDR 进行对比。
还有三个 base（premium, policy value, experience）的不同导致计算的不同。
然后就谈到投联险（United-linked policies）了。
投联险其实是两个账户，一个是持有人的投资账户（United fund: 按 unit 投资），一个是保险公司的账户 (Sterling Fund)。持有人的账户无论盈亏都跟保险公司无关，他仅仅是赚一个佣金，但是保单上的保险金如果大于投资账户里的资金，就得在保险公司的账户里面算。
所以我们计算的时候分两个账户计算，运用前面 profit testing 类似的方法。
首先我们要知道几个概念：
bid/ offer spread：bid 价格是投资者卖出的价格，offer价格是投资者买入的价格，offer比bid高，所以spread=1- bid/ offer。
allocation rate：从保费中拿多少比例出来投资。
policy fee：持有投资账户的费用。
fund management charge（FMC）：和policy fee不同，这个是帮忙投资的佣金。
mortality charge：由于投资者死亡给保险公司带来的费用的1%（或其他值）被投资者承担（和mortality cost不一样的是，这个是保险公司的收入）。
然后分两个excel表算就好。
寿险为什么会有选择问题呢，什么是选择，选择的是什么？
举个例子，因为有逆向选择的问题（得病率高的人倾向买保险，健康的人不怎么会考虑），我们需要用承保过程来选择我们的投保人（如果没有承保过程，保险公司的死亡率和发病率就会很难看，相对整体来说）。
但上述都是一个很笼统的问题，具体到每个地区不同的保险公司，因为地区不同，承保条件不同，市场不同，对象不同，退保等各种因素结合起来导致我们不能直接用一个大概的死亡率来笼统的大中国保费，我们需要对每个地区进行不一样的保费收取，就像a地区死亡率高，$b$ 地区死亡率低，如果我们把两个搞起来算个平均那就对b地区不公平了（假设终身险而不是年金），所以我们这一章讨论的就是选择问题带来影响死亡率的问题。
我们考虑五个方面，暂时起初的选择（不知道翻译得对不）、时间选择、阶级选择、逆向选择和伪选择。
因为有承保过程，保险公司在一开始就把有些重大缺憾的人给拒了，留下“优秀”的人，所以，死亡率就会相对偏低，但这个效果一般只在前两年（白皮书上）存在（所以暂时），后面就慢慢和大众的死亡率重合了。
之前我特别困惑这一点，明明选进来的人都是优于民间整体水平，为啥还会只有暂时的效应呢？后来老师解答说，因为如果第一年所有人都是健康，那么第二年第三年那些健康的人也会有机率转移到生病或死亡的状态，慢慢地与大众重合，其实就相当于，全部人是一个游泳池，我们第一年把那些好的人挑出来放到另外一个游泳池里，但几年后世事变迁，好的人也会衰老，生病，死亡，慢慢地，就跟大游泳池里的概率重合，但是呢，最终还是会好一点，但是还是没有第一年差距那么地明显。
对于不同时间，比如 1996-2000 和 2012 到 2016，由于医疗设备，饮食习惯，工作环境还有各种因素，死亡率是肯定不一样的。
但这样的话就会对普通寿险和年金造成重大影响，所以保险公司需要时刻戒备时间选择。
我当时看到这个挺蒙的，后来知道原来是因为保险公司的针对人群不同导致的死亡率不一样。当然，这个群体不仅仅指贫富差距，还包括：男女，保单类型等等。
想象一下，穷人和富人的死亡率是一样的吗？
就如开头所说，越是不健康的人越想要保单，但这个吧对保险公司利润影响蛮大的，所以说一般保险公司都要做好承保，但是很尴尬有些中介就是找哪些不健康的人，伪造健康证明然后得到保单，因为健康的人大多都有自信，而且没有那么大的风险意识，所以说，逆向选择很矛盾。
我们考虑 $a,b$ 两个地区（假设四川的成都和绵阳），如果在 $x$ 岁我们把 $a,b$ 合起来算死亡率，但在 $x+1$岁，$a$ 里面有一半退保，死亡率就会发生改变（有可能是像第一种那样暂时的改变，但起因不一样），但这种不关乎真正死亡率的变化，有可能死亡率没变，仅仅是加权平均，数学上的改变而已。
然后进入 Single Figure Indices。
没找到中文是啥，我对这个的理解：这次我们不用传统的每个年龄的死亡率都来算算，只考虑年龄段，每个年龄段每个区域都有人口和死亡的数量。
我们一般需要算下面四个东西然后比较。
粗糙死亡率是直接每个区域所有死亡人数除以所有人口数量，比如 $v$ 区域一年内总共死亡人数10，总人口100，那么 CDR 就是 0.1。
简单吧，是很简单，但是，这个有被年龄段人口分布影响的问题。
可以在脑子里想想，如果整体死亡人数 $d$，人口是 $E$，那么就是 $d/E$，但是把式子展开，$d$ 是由每个年龄段的死亡力$\mu_i$乘以对应年龄段人数$e_i$加和而成，所以就是$\sum\frac{u_i\cdot e_i}{E}$，展开，单个$e_i/E$就是每个年龄段人口的权重。
如果 $v$ 地区年幼的人特多，那么乘以权重，整个死亡率就小了。
肉眼可见的糙，还易被年龄段人口给影响，用于大概估算吧。
其实就是把整体人口看作标准，用在加和每一个年龄段整体数量乘以单个区域粗糙死亡率，最后除以整体数量。
其实就是上面的每个年龄段的死亡率在乘以标准死亡率，标准一下权重，被年龄段分布的影响就不会那么地大，稍微好一点。
但是呢，缺点 CDR 直接知道死亡人数和人口就好，但 SDR 还要知道每年龄段的人口和死亡数量，会造成一定的麻烦，数据要求更高。
上面两个的计算实际上是我们检测的数据，那么没检测到的数据怎么办呢？
我们就可以2/1*CDR（non-census）,然后就得到 SDR（non-census）了，据我的理解，CDR好算一点，直接 1，2用检测到的数据算了，CDR（non-census）就直接把全部的死亡和人口统计好（每个年龄全部统计太累了），之后就得到 3了。
这次用每地区的人口作为基准，某地区真实死亡数量除以某地区期望死亡数量。
期望死亡数量就是用全部区域加和的死亡率乘以某地区各年龄段人口数量，也相当于标准化。如果比1差得多就可以看看年龄段有什么不同了。
整体来说，上述四种方法仅仅是条件要求的不同，想要证明的问题不同所得出的，应该要实际问题实际分析。
英国40%的精算师都在从事年金（寿险里面年金占了好大的部分，怪说不得申请工作的时候一半都分为 pension 和 life insurance，足见他的地位）。
传统的是 Defined Benefit，但现在很多公司未来成本问题，大多都在转型为 Defined Contribution。
这个是跟工资相挂钩的，基数可以是退休时的工资，可以是退休前几年工资的平均，还可以是整个工作生涯的平均。
一般来说，只保一部分（工作时间/60或多少），对于基数而言，因为毕竟老年人也不养家了，但是干得越长，会领更多年金（积累更多，期望生存时间缩短）。
这个就不跟工资挂钩了，跟市场条件挂钩，相当于每个月，上交一部分到一个投资账户里面，交呀交，知道退休，看这个账户的情况，然后发年金——这就不是确定了。
下面是与pension规模有关的因素：
说到风险，对于年金，年龄肯定重要，死亡和退出（换工作，被炒）也重要，但是有一个同等重要的就是退休时是否健康，这个关系到老人从疾病到健康是一个很难的过程，还会影响死亡时间。
所以，我们根据上面的风险规定四个状态，开始状态时正常工作，状态1时正常退休，2时患疾病退休，3时死亡，4时退出，然后就跟随机过程一样，然后把原本活着的人分成四部分，然后把概率算出来。
工资一般每年随着通货膨胀，升迁，经验值的上升而上升。
工资比率是指几年后的工资和现在的工资比率，通过规定的表，找到工资规模，算出数年后的期望工资。
这个就是精算需要的工资，如果规定算后三年平均工资，那么我们的期望FPS就是现在的工资*最后三年平均工资/现在的工资。
最后，结合前面所说的，再融合各种公式，就得到最后简化后计算年金现值。
当当当，一本很厚的书就完啦～
根据赫瑞瓦特的 CT4 精算模型课程对全书的知识点做的梳理，和协会的CT4考试内容不完全一致，适合预习或者复习CT4的时候理一遍思路。
把一学期老师上课内容梳理一遍+自己理解～很基础但很有用～
如果有问题请指出～希望能有所收获～
本文架构：
讨论生存模型时很多都是在医学统计上常用的概念。
这个模型，运用很多不同的方法，想得出的就是生存函数和死亡率的估计来解决实际问题。
这篇文章需要部分人寿保险数学的基础，但是没有也没关系，简单的～
首先要知道这几个概念：
$$
F(t)=P(T\leq t)=\qx{t}{x}
$$
其中，$T$ 指存活时间，$F(t)$ 就是 $T$ 的分布函数，即在 $t$ 时刻前死亡的概率分布。
$$
S(t)=P(T\geq t)=1-F(t)=\px{t}{x}
$$
$S(t)$ 为生存函数，年龄为 $x$ 岁的人，活过 $t$ 时刻的概率。
$\mu_x$ 为 $x$ 时刻的死亡力（一瞬间的事儿）。
其中还涉及到一些变换技巧，刷刷题练练手感就好。
罗马古代军团的意思，在这里代表拿出一群人，从出生到死亡一一记录，形成生命表。
但是，这个太费时太费力，所以，我们一般用 mini-cohort，也就是比如一群在2017年30岁的人，在2017年到2019年，死亡和存活的人数，然后计算，这样比较方便简洁，但是误差肯定比前面的大。
为了估计死亡或者生病的时间，引入 censor 的概念：right-censoring, left-censoring 和 interval-censoring，一般来说用第一个。
举个 right-censoring 的例子：a 时刻，观察一个人，好，他活着，说明他在 a 时间点之后死亡。
对于 left-censoring：同样 a 时刻，那个人生病了，说明 a 点之前某点是健康的状态。
对于interval-ensoring：假设 a,b 两点，a 点在 b 点前，a 时刻健康，b 时刻死亡，说明 a,b 中某点是生病的状态。
还有 random censoring, non-information censoring, type 1, type 2 censoring。
详细的 censoring 的知识点总结可以看 Jackie 的推文：CENSORED DATA：当注射格列宁的小白鼠逃出实验室
首先引入概念：
$$
\px{t}{x}=S(t)=\px{}{x} \times \px{}{x+1} \times \px{}{x+2} \times \px{}{x+3} \times \ldots \times \px{}{x+t-1}
$$
然后，我们在每个时间点 $t$ 都有：
$n_t$：刚好在 $t$ 点之前（$t^-$）所有存活的人数
$dt$：在 $t$ 点的死亡人数
所以说 $t$ 点的存活率为：
$$
\frac{(n_t-dt)}{n_t}
$$
根据最开始的概念 得到：
$$
S(t)=\prod_{j=1}^{k}(n j-d j) / nj
$$
然后根据我们的数据，就可以把生存函数算出来啦～
但是呢，KM方法有一个大缺点，就是在很多协变量（covariate）的情况下很麻烦。协变量不是x,y但是影响实验的结果，例如我们现在找时间和死亡率的关系，性别就是一个协变量。如果协变量少，我们就可以分组来用 KM，但是，现实是残酷的，有很多协变量（是否吸烟等），所以引入了Cox Regression Model（Cox回归模型）。
定义了 Cox proportional hazards model，因为其是一个半参数模型，已知 baseline hazard，运用 partial likelihood function（部分似然函数）算出 $\beta$ 期望和方差。
关于为什么用 partial likelihood function，老师上课没说，我搜到的解释是因为在 Cox proportional hazards model 里面 baseline hazard 是早就定义好的，所以是一个半参数模型，用 partial likelihood function。
之后对 $\beta$ 做假设检验，$H_0$为 $\beta=0$ 可以用 Wald Test, Likelihood-Ratio Test( $-2\times (l_0-l_1)$ ), Score test( $\frac{U\left(\beta_{0}\right)^{2}}{I\left(\beta_{0}\right)}$)（检验所有回归的经典算法）去算，差别很小，都用 likelihood，就是估计模型的多少的差别，都是套路。
小白我的理解：
马尔可夫模型其实是多个状态的转换。
可以想象你在一个地方呆了一会儿，然后以一个超快的速度移动到另一个点，之后再移动到另外一个状态再移动......（想想很早很早很火的表情包，哎呀找不到了哭）直到到了一个吸收态出不去了（比如死亡），那就一直待到那里了。
我们把移动的速率叫做 transition intensity。
在生存模型中，我们最初可以考虑只有两种状态的情况，状态1是活，2是死，我们移动的速度就是我们的死亡力。之后考虑1是健康，2是生病，3是死亡等等的推广。
第一：是马尔可夫模型的定义就是不考虑之前的状态，对于未来，只管现在的年龄和状态。
比如A之前生病很长时间，然后蹦到健康的状态，之后蹦到什么状态只跟现在有关，虽然有点不切实际，但是如果在开始就考虑所有的话会混乱。
第二：在短时间内，我们只能转移一次，转移的几率很小（o(dt)）。
比如给定很短很短的时间，我们只能从a跳到b，而不能中途再来一个a到c到d到b这种情况。其实是符合实际情况的，很短的时间我们不能很快健康到生病再到健康。
第三：短时间内，两个不同状态a,b转换的概率为：
$$
d t \actsymb{}{}{p}{ab}{x+t}=\mu_{x+t}^{a b} d t+o(d t)
$$
也就是在二的基础上，说直接两状态的 transition intensity 乘以很短的时间，再加一个转移多次的 $o(dt)$.
有一个很直观和简单的方法。
比如你在 $x$ 岁时是状态1，如果要求从1到2的概率。
首先列出 $x+t$ 岁，状态1，2，3......，然后，在时间点 $x+t+dt$，这些状态到状态2的 transition intensity 乘以 $dt$，最后转换一下，求出从1到2的，关于时间 $t$ 的倒数，概率之后自会有方法解决～
啦啦啦，终于进入实战了，首先是最简单的两个状态（生或死）模型。
首先来几个概念，之前介绍了censor，也就是保险公司（或者其他什么的）的调查时间点（不可能一直调查，考虑实际情况）。
现在呢，对于某人 $i$，我们把开始调查的时间记作 $a$，结束调查的时间（没死）为 $b$，调查终止的时间（死或 censor）记为 $t$（可能为 $b$）。
然后，我们的等待（调查）时间就是 $t-a$，在等待时间内 $D=0$ 表示活着，$D=1$ 表示死。
接下来呢，推导两种情况：
$$
\begin{aligned}
&P\left(D_{i}=0, V_{i}=b_{i}-a_{i}\right)\\
&=P\left(a_{i} 到 b_{i} 存活\right)\\
&=\exp \left(u \times v_{i}\right)(因为恒定 u)\\
&=e^{-\mu v_{i}} \times \mu^{d i}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
&P\left(D_{i}=1, v_{i}<V_{i}<v_{i}+d_{i}\right)\\
&=v_{i} P_{a_{i}+x} \times\left(\mu d v_{i}+o\left(d v_{i}\right)\right)\\
&=e^{-\mu v_{i}} \times \mu+o\left(d v_{i}\right)
\end{aligned}
$$
无论在D=0或1的情况下，等待时间的概率都可以用一个函数（包含d与v的混合分布）代表（假定在 $t$ 属于$[0,1]$内，$\mu_{x+t}=\mu_x$ 恒定 ）:
$$
f_{i}\left(d_{i}, v_{i}\right)=e^{-\mu v_{i}} \times \mu^{d i}
$$
然后，把所有人乘起来，就是极大似然函数，最后求得 MLE，得到：
死亡力=所有死亡数量/等待时间的加和。
$$
\tilde{\mu}=D / V
$$
我的直观理解：
假定一天内，恒定死亡力，10个人，1个逝去，那么死亡力就是1/10。
然后，再常规的 score function, information function 用极大似然函数求到，最后算出方差标准差。
类似的，可以推广到多状态模型，先算出一个的概率，之后到极大似然，不同的transition intensity 都可以用MLE算出。
因为简化下来，死亡人数就应该是个二项分布（生or死），所以死亡人数$D\sim B(n,\qx{}{x})$，然后我们已知二项的 $f(x)$，近似在（0，1）死亡率不变，算个 MLE 就可以得到$\bar{\qx{}{x}}=d/n$ .
但是 $\qx{}{x}$ 是会随着时间变化而改变的，所以我们现在就需要引入假设。
我们引入三种假设（都是在 $t \in [0,1] $ 的近似假设， $\qx{t}{x}$ 指现在 $x$ 岁，在 $x$ 岁和$x+1$ 岁之间 $t$ 刻死亡的概率）：
$$
\qx{t}{x}=t\cdot \qx{}{x}
$$
所谓 uniform 就是指 $\qx{}{x}$ 在这个区间不变。
$$
\mu_{x+t}=\mu_x
$$
不用说。
就是跟 UDD 假设相反，UDD 是从 $x$ 开始看，BA 是从 $x+1$ 开始看。所以：
$$
\qx{1-t}{x+t}=(1-t)\cdot \qx{}{x}
$$
之后就进入实战了，像上一章所说：
$$
\qx{}{i}=(b_i-a_i)\qx{}{x+a_i}
$$
然后运用上面随意一个假设求出近似值然后运用 MLE 就好了～
Poisson Model 就是因为上一章我们 markov model 写出来的 maximum likelihood 可以用 poisson 的形式表示，所以认为 $D\sim Poisson(\mu E_x^c)$,其中 $E_x^c$ 就是之前的 $V$（observed waiting time）。
然后我们就可以根据不同情况运用这三种模型了。
根据 Gompertz law: $\mu_x=BC^x$ （$x$ 为年龄，B，C为常数），那么 $ln(\mu_x)$ 就应该跟 $x$ 线性相关。
接下来，就是linear regression的战场了。
对于 normal error 的话，用 simple 就好。
但涉及到poisson和bionomial（五讲的知识哦），就得用 generalised linear model 各自的 link。
$$
D_{x} \sim B\left(n, q_{x}\right)
$$
$$
\bar{\qx{}{x}}=\frac{D_{x}}{E_{x}}
$$
$$
D_{x} \sim Poisson \left(\mu_{x}E_{x}^{c}\right)
$$
$$
\log \left[E\left(D_{x}\right)\right]=\log \left(E_{x}^{c}\right)+\log \left(\mu_{x}\right)
$$
然后计算residual。
还可以用 standard table，运用的 weighted least squares和generalised linear model 来 graduate，把数据转换一下就好。
例如运用 possion，直接把后面 $\log \left(\mu_{x}\right)=b+a \times \log \left(\mu_{x}^{t}\right)$（之前 $\log \left(\mu_{x}\right)=a+b \times x(a g e)$）。
但是运用 standard table 有个问题，他没有算进一个人持有多份保单的情况，数据上报的时候保险公司也只会提供数量而不会把人头也报上去。
所以这个 duplicate 的问题，因为一人持有多份保单使得方差变大，大概估算每个年龄段 dupplicate 的比例，成比例缩小即可。
熟悉的 Chi Square test、standarlised deviation test，到对 residual 进行的 sign test（因为residual 太小，就对符号进行检验）还有 change of sign test、grouping of signs test，从+-符号数量，改变频次，有多少 group 来确定是否合适；最后再来一个 serial correlation test来检验 residual 是否 positive correlated，运用 R 就很简单了。
计算 $\tilde{\mu_{x}}=\frac{d_{x}}{E_{x}}$, $\tilde{\qx{}{x}}=\frac{d_{x}}{E_{x}^{c}}$，我们需要知道：第一是 central exposed to risk $E_{x}$，第二是initial exposed to risk $E_{x}^{c}$, 关系是：$E_{x}^{c} \approx E_{x}+0.5 \cdot d_{x}$.
然后我们探讨 principle of correspondence，也就是 exposure data death data 必须是同一时间界定的，不然 $dx$ 我界定为 nearest birthday，而 exposure 我按 calendar year censor，两个算起来就不对。
那么问题来了，年内死亡的时间该归为多少岁？
所以，为了确定时间界定，接下来引入age label。
分为 age last birthday, age nearest birthday。
前一就是在62.8岁死亡，归为62岁，后一就归为63岁。
然后看到 rate interval（没查到中文是啥），就是怎么区分 interval，分为 life year, calendar year 和 policy year，然后在每个 interval 里面，引入上面的时间界定。
也就是 rate interval 确定每个 interval 的年份，再由 age label 确定到底归为哪个年纪。
来一个例子，就如 rate interval: policy year; age label: age last birthday at the nearest policy anniversary。
一个人，birth 09/09/1910，died 10/05/2000， policy start 11/06/1998，死时算多少岁？
好我们看看，nearest policy anniversary 11/06/2000，此时的last birthday：09/09/1999，为89岁，然后我们就算为89岁。
之前都是知道进入和离开的具体时间，现在问题来了，如果没有记录时间呢？还有如果census和death data的age definition不同呢？
现在我们从census data里估算出 $E_{x}^{c}$。保险公司把数据提交的时候，一般是在一个特定的时间，我们就把 age label 定义为 age x last birthday。
然后，$t_1$,$t_2$ 之间的observation就是 $P_{x, t}, E_{x}^{c}=\int_{t 1}^{t 2} P_{x, t} d t$，我们可以用 trapezium rule 来近似，例如：
$$
\int_{0}^{2} P_{x, t} d t \approx 0.5 *\left(P_{x, 0}+P_{x, 1}\right)+0.5 *\left(P_{x, 1}+P_{x, 2}\right)=0.5 * P_{x, 0}+P_{x, 1}+0.5 * P_{x, 2}
$$
得到了central exposure，算出 $\mu_x$, $\qx{}{x}$.
之后涉及到 age label 的问题，我们就需要 adjust census data。
例如 $dx$ 是 age last birthday,而 $P_{x, t}^C$ 为 age nearest birthday测量的，我们就需要 adjust $P_{x, t}^{D} \approx 0.5 * P_{x, t}^{C}+0.5 * P_{x+1, t}^{C}$.
所以：
$$
E_{x}^{c}=\int_{t 1}^{t 2} P_{x, t}^{D} d t \approx 0.5 * \int_{t 1}^{t 2} P_{x, t}^{C}+P_{x+1, t}^{C} d t
$$
这个画图比较好理解，主要确定何时 $x$ 转变为 $x+1$ 。
就是这样啦～希望大家又学习到一点东西～有不对的请指出，谢谢啦～
根据赫瑞瓦特的 CT2 公司金融与财务报表课程对全书的知识点做的梳理。
本来在国内就学了会计，到了英国又来了一遍，真实开心（误）。下面就梳理一下对于考试来说重要的知识（老师勾的），不然真的贼多。
对于这科又学金融，又学会计的来说，先梳理一下区别：
accounting：主要考虑collecting, recording, analysing and communicating financial information。
finance：关注如何raise and invest funds of a business。但他们都对公司决策起着重大的作用。
1) Users of financial information
有很多，owners, customers, competitors, manager, lender......不一一列举了。
2）Rules and regulations
有很多，比如Companies act和Accounting standards......来源于international accounting standards boards, company law和financial conduct authority。关键：这些regulations的目的都想保证financial reports give a true and fair view。
3）Accounting conventions 会计惯例
Business (company) entity 商业实体: 超脱于所有者之外，一个单独的公司银行账户
Historic cost 历史成本：被计作成本的资产和负债，对于非流动资产有时也会重新评估
Prudence 审慎：账户需要谨慎估值
Going concern 持续经营：假设公司能够在可见的未来经营（通常为12个月），对于账户的影响
Dual aspect 双面性 : 每一个交易都会影响两个账户 (asset, equity or liabilities)
Money measurement 货币核算原则：所有账户都用货币计算
Consistency 一致性：数据在各年都可以相互比较，也就是说会计policies不会发生较大的改变
Accruals 权责发生制：开销一旦发生，都要记录，不管是否给钱
Realisation 实现：收入在发生的时候记录，不管当时是否给钱
稍微对accruals和prudence注意一下，老师说很常考。
1）Statement of Financial Position (Balance Sheet)
Assets =Liabilities + Equity
1-Assets
Typical business assets: property; plant and equipment; fixtures and fittings; patents and trademarks; inventory; trade receivables
Non-current (fixed) assets and current assets: 固定资产一般指持有超过1年的可以是有形无形或者投资的资产，而流动资产则是指小于1年的用于商业循环的资产。固定资产的话需要depreciate和可以被revalue。
Current assets 中Inventories (stock), Cash, trade receivables是一个循环的状态。
2-Liabilities
Typical liabilities: loans; trade payables; tax due
Classification: current liabilities (<1年)；non-current liabilities（>1年）
3-Equity
公式：owner注入公司的钱-owner拿走的钱+任何profits
2) Income Statement
1-Cost of Sales
-Retail: =Opening inventories+Purchases-Closing inventories-Manufacturing: =Opening inventories+Raw materials+manufacturing expenses-closing inventories
2-Groping types of expenses
包含Cost of Sales, Selling and distribution costs and Administrative expenses。
对于Selling and distribution costs，只包括advertising, selling costs and delivery costs。Administrative expenses则是除了selling and distribution costs外的所有。
3-Recognising expenses
注意一下accruals and prepayment。accrued expenses是记在expenses里面，而prepaid expenses则是资产。
4-Depreciation
1）Business ownership
注意他的legal entity的关系
Sole trader: unlimited liabilities for debtPartnerships: jointly and severally liable for debtsLimited companies: separate legal identity, limited liability
对于incorporation，既有好处也有坏处。好处就是limited liabilities和比较轻松地raise money，还有就是ownership的变动不会影响该公司生产活动。其坏处就是比其他两种更贵，受法律约束更多还有就是经理人和企业所有者的利益冲突问题。
2）Private and public companies
对于limited companies,又分成private和public两种。对于private limited companies（ltd），不允许其对公众发售股票，可以只有一个董事和一个监事，不需要annual general meetings。对于public limited companies（plc），允许对公众发售股票，必须有两个以上的董事和监事。
cash flow statements对现金流动提供额外信息。Income statement中depreciation和accruals and prepayment不影响现金流动。Cash transactions例如share issues和purchase of fixed assets不影响profit。
1）分类
cash flow分为三种：cash flow from operating activities: normal day-to-day trading activitiescash flow from investing activities: acquire and dispose non-current assetscash flow from financing activities: issue and repay shares and long-term loan
2）Purpose
predict future cash flowsplan ahead when business will require a bank loanforecast anticipated inflows and outflows
1）定义
consolidated accounts combined results of relevant groups of medium and large companies.
relevant companies指的是parent/ holding company和他的subsidiaries.
小型公司不需要给出consolidated accounts.
2）Subsidiaries
如果一个公司有另一个公司超过50%的voting rights，就代表他是holding company而另外一个公司是subsidiaries.当我们consolidate时，我们需要cancel: investment in subsidiaries; loans to/ from companies; inter-company trading; dividends paid to/ from companies.跟associates和joint venture区分，associates是20%到50% voting rights，他们都不需要consolidates in group accounts.
3）Purpose
central holding company: economically only 1 real business entity;必须看总的assets和liabilities under unified control；只看holding company的话会低估这个集团的实力。
4）Goodwill
重点注意一下这个，value placed on a company (price paid) - fair value (assets-liabilities)，记住是fair value噢。
四种：income tax, capital gains tax, corporation tax, other taxes.因为我们不考这个（老师生病然后那周的taxation5分钟拖完，其实就是一堆概念，看看记住就好），就不写啦哈哈。唯一需要注意的就是taxation在balance sheet里属于current liability.
source of finance:
1）internal source of finance
long-term (retained profits);short term (delay payments to suppliers; reduce inventories; tight credit control of receivables)
2）external source of finance
(1) long-term: capital
share capital: fund raised by selling the shares in the company其中注意区分ordinary share和preference shares。
loan capital: fund raided by obtaining a loan其中包括debentures(公司债券)，unsecured loan stocks，eurobond loan capital。
(2) mid-term
hire purchase（租购）：其实有点相当于credit purchase，但所有权在分期付款完成后移交。leasing: 其中finance leases（融资租赁）是leassee承担风险，而operating leases（经营（传统）租赁）是owner承担风险credit purchase：所有权马上移交。bank loans
(3) short-term
bank overdrafts trade credit factoring：分为non-resource factoring和resource factoring，也就是factor没有和有追偿权的区别。 commercial paper Bills of exchange
3）Routes to listing
offer for sale at a fixed price：最常见的方法offer for sale by tender：要约收购Other methods: offer for subscription; placing/ selective marketing; introducting
underwritingRights issuesScript (bonus) issuesAlternative investment market
有5种类型：profitability, efficiency, liquidity, financial gearing, investment。Ratio可以通过和past period, similar businesses during the same period还有planned performance比较。
1）Profitability
从这些分析中可以提供公司给owner带来wealth, 收益与公司大小相比较，how much capital invested in。
Return on ordinary shareholders' funds (ROSF):
(Net profit – any preference dividends)/ (Ordinary share capital + reserves)
Return on capital employed (ROCE): profitability中最重要
Operating profit / (share capital + reserves + non-current liabilities)
Operating profit margin
Operating profit / Sales revenues
Gross profit margin
Gross profit / Sales revenue
2）Efficiency ratios
Inventories turnover period
(Inventories/ Cost of sales) x 365: the number of days inventory is held
Trade receivable settlement period
(Trade receivables/ Credit sales revenue) x 365
Trade payable settlement period
(Trade payables/ Credit purchases) x 365
3）Liquidity
Current ratio
Current assets / Current liabilities
Acid test ratio (quick ratio)
(Current assets – inventories)/ Current liabilities
4）Financial gearing ratios
Gearing ratio
Long-term liabilities/ (Shareholders funds + long-term liabilities)
Interest cover
operating profit/ interest payable
Asset cover
(Total assets–intangible assets–current liabilities)/ loan capital
5）Investment ratios
Dividend cover
Profit for the year/ Dividend for the year
Dividend Yield
Dividends per share/ Market price of share
Earnings per share
Profit for the year/ Number of issued ordinary shares
Price/Earnings (P/E) Ratio
Market value of a share/ earnings per share
就是之前有在discrete time finance里讲的各种东西，future, option, swap......杂糅。
这章主要讲的是公司中的各个组成部分及公司中的利益冲突和公司的社会责任。
1）agency theory
directors相当于shareholders的agents，而shareholders则是principals。shareholders指定directors，但是他们的利益可能会冲突。解决办法是给股权，按照表现给奖励和惩罚。directors需要根据一些特定的因素来最大化收益给shareholders，其中包括owners能承受的风险程度，是要immediate profit还是future high growth等。
2) 资本结构
大部分公司都是混合债务和权益，根据公司类型的不同资产结构也不同，比如银行就会有大量债务，而软件开发公司tangible asset会比较少。下面介绍五种不同的公司类型对应的capital structure：
(1) 中型，发展中，高杠杆
Market value of shares可能会较低，因为shareholders想让其加入更多的资产。
(2) cyclical industry
最好的情况是，当生产高峰时，高杠杆，当活动减少是降低债务。
(3) “people” business
员工和管理技巧是关键，可以用share或者相似的手段奖励员工，但过度使用会对share valuation产生反作用。
(4) 高速增长，高风险产业（例如生物技术）
借贷资本不存在，可能会有deferred shares给sharehplders。
(5) an industry facing decline
管理层可能会diversify或者退出这个产业，对应着债务需求的增多和建设。
3) taxation and capital structure
tax incentive: 因为利息是tax deductible，dividends不是，所以公司在需要更多fund时就会选择借贷，但是高杠杆的风险可能会超出tax incentives。
4) dividend policy
是否发股息会考虑以下因素，股民厌恶股息停发，loyalty，limit cash pile，高风险行业可能会给少量股息以为未来发展考虑等等。但还可用script issue或者share repurchase来代替。现在的market value相当于future dividends。
5) social responsibility
公司面对道德困境，一个是需要最大化shareholders收益，一个是避免导致环境污染和破坏。Milton Friedman曾指出公司唯一的社会责任就是赚钱而不是做公益，并从economic，ethical和philosophical三方面解释了原因，但也有很多人反对这个观点。
对于investment，我们想要利润，不想要风险，还会涉及到time value的问题。我们用一下简单的四种方法来评估每个可能的projects:总结起来就是time value of money, inflation, cash flow和investment size总是不能兼顾的。
1）Accounting rate of return
公式：Average profit of the year/ Average investment to earn the profit必须超过设定的最小值，然后越大越好。
优势：好计算好理解考虑overall profit跟之前的Return on capital employed类似，只是一个考虑未来，一个考虑过去。劣势：
没有考虑investment size没有考虑time value of money没有考虑过程中cash flow的情况
2）Payback period
看多久profit能超过cost必须小于设定的最大值，然后越小越好。
优势：同样好理解好计算考虑了时间因素（相比ARR）
劣势：同样没有考虑investment size没有考虑time value of money忽略超过payback period后的现金流仅仅考虑时间的长短，没有考虑利润的高低
3）3 Net present value
就是CT1的求现值啦。
新体系CB1考试的复习心得。
这是我第一次参加社会考试，而且是新大纲施行后的首考，和在学校参加豁免考试的心态还是不一样的。虽然之前学过会计学和保险财务会计（这两科一定要好好学），但是知识放太久不用会忘记，所以还是准备了很久，整体study hours大概有150+，包括日常学习、复习和刷题等。
我的备考过程主要分三个阶段：
1）大致看一下本章的Syllabus objectives
2）仔细学习本章内容，主要是黑体字部分，跟着做练习题
3）看本章的Chapter Summary
4）做Practical Questions，尤其是Exam Style
1）根据Course Structure的划分，再看看每个Part的Chapter Summary
2）做相应Part的X Assignment
1）定时3h15m
2）做完要对答案和改错。
这些课程考下来，总结出的一点(借用教材中的一句话)就是要SHAPE (Study Hard And Practice Exam questions)。
Business Finance这门课之前叫做CT2，2019年的新大纲叫做CB1。在拿到2019年的CMP之前我用过几天2013年的CMP。虽然新旧大纲和教材大体上一致，但是还是有删有增。
因为2013年的CMP我只是粗略地看过，所以这部分没有办法详细介绍，我印象里删掉的部分有一个Probability tree，新增的部分有Forecasts and budgets(这个考试考了，所以用旧教材的同学可能会觉得这道题比较新颖)等等。
所以在这里强烈建议参加社会考试的同学们，买新教材吧。
考点在亮马河British Council，非常正式，考生少，小考场很安静，环境很好。带好身份证和自己打印的准考证，计算器，文具，水杯等。
要求提前进考场，考试之前要先填涂个人信息和考试信息，监考人员会非常详细地介绍答题本（很厚，别怕不够用）的使用方法，收到监考人员宣布开始考试的指令后再翻开试卷进行作答。
答题使用黑色水笔（笔芯建议稍微细一点，0.5差不多）。涂选择题也是黑色水笔，不是2B铅笔。
桌角会放有一本Formulae and Tables Book，CB1这门科目一般用不到。
可以提前离场，最好勇敢地坚持下来，说不定就过了呢。
April 2019的真题已发布到英国精算师协会官网上，具体考试内容可以在官网下载。我想说的是，Business Finance整体上偏向于理解、熟记和应用，没有什么计算难度，关键在于熟练程度。比如像资产负债表、损益表、权益变动表的编写和各种会计比率的计算，不需要死记硬背，看懂以后多做几道题就记住了。
从2005年开始，这一科已经考了十几年了，所有的新题都会以一种相似的形态出现在旧题中，所以刷题真的很重要（建议按时间倒序刷题），历年真题和解析也可以在官网下载。
考试重点需要在刷题的过程中自己体会，一般出现次数多的知识点就是重点了。
题型有三种，单项选择10道，简答题8道，大题2道。
CB1考试时间一共为3小时15分钟，我自己的时间安排是：
单项选择：10分钟（这个时间很充裕，可以检查一下带计算的选择题）
简答题：8*15分钟=120分钟（答案控制在每道200字左右，分点作答）
大题：2*30分钟=60分钟（编制会计报表/计算会计比率/应用论述题等等）
检查：5分钟
结束啦！
最后祝所有参加April 2019考试的同学们高分通过！！！
从一个精算学生的角度谈自己对latex的学习历程。
本文不介绍LaTeX入门的具体知识，仅以一个精算专业学生的角度来谈谈自己的LaTeX学习经历。人对自己不熟悉的事物会有本能的排斥，因此本文的目的是用我的学习经历帮助还不了解LaTeX的朋友建立熟悉感，这样后续的学习就会少很多阻力。至于正式的学习，互联网上不乏优秀的LaTeX入门的资料，建议通读《一份不太简短的LaTeX介绍》（安装完Texlive，在命令行输入：texdoc Ishort-zh，即可获取pdf文档）。
我第一次听说LaTeX这个词是在准备美国大学生数学建模竞赛的时候，时间是大一的寒假。和现在大家在精算考试前本能地想从各处（如微信公众号：精算后花园）搜刮经验贴一样，我看到有篇美赛的经验贴说“LaTeX是一个免费且强大的排版工具，美赛中用它排版论文毫无疑问是加分项。但不要轻易尝试，容易报错。”于是我下载安装了LaTeX的发行版之一——Texlive并开始了简单的入门。但最后比赛时还是用Word排的版，一方面比赛时间紧张，一方面对LaTeX不太熟悉，用来排版正式作品心里也没底。
后来大二大三就一直没碰LaTeX。直到大四，保研的事情尘埃落定，于是决定多写写公众号，于是重读了《一份不太简短的LaTeX介绍》，并用LaTeX对精算的知识点进行系统整理，排版精算师考试的讲义书籍等等。不用Word而用LaTeX的原因之一是LaTeX在处理数学公式上具有明显的优势，尤其是精算符号。上一则推文《如何有效记忆寿险精算符号？》的 PDF 文档就是用 LaTeX 排版的。其次，LaTeX处理长文档也很便捷。用 input 可以把整个书籍源码按章节分拆成多个子文档，结构更清晰，方便注释当前无需编译的章节，节省编译时间。而Word尽管也可以有子文档的形式，但长文档中的大量mathtype公式会变成图片，不利于后续的修改。Word有上千页文字时，打开都需要半天，更别说有数学公式了。但是LaTeX因为实现了内容和样式分离，输入时不会实时渲染出html（word其实是边输入边渲染成html来达到缩减即所得），所以LaTeX排版长文档时很稳定，无非是导出pdf慢一点，但不会出现程序突然崩溃的情况。我的CM1授课讲义已经写到了200多页，从来没出现latex卡死的情况。（顺便打个广告，需要精算课程在线辅导欢迎联系Jackie微信号：AGJackie）另外，录制精算课程需要制作PPT，这用LaTeX的beamer文类也可以实现。将排版精算书籍的文档源码稍微改动就可以生成类PPT的PDF，而且学术风十足，且方便交叉引用，将来用在毕业论文答辩PPT制作上也是个不错的选择。
大四下学期我去了某家保险公司的精算部实习。部门总打算排版一份精算制度汇编，在部门人手紧缺的情况下，这份艰巨的任务自然落到了精算部唯一的实习生Jackie身上。我花了一个月时间纯手打了100多页的精算制度，领导等不及了，于是接受领导的建议对剩下的600多页内容用插入PDF的形式进行排版，牺牲了一定程度的美观，但节约了时间。话说回来，这一个月的排版经历实实在在地提高了我的LaTeX水平，比如长表格，合并单元格，长公式的断行，等等。所以建议大家学习LaTeX使用的过程多上手操作，报错没关系，有搜索引擎帮你。多排几份文档就熟练了。实习结束时，我留下了排版的LaTeX源码并写了份简短的排版指南，以便后续更新。果然，前一阵子新的实习生来找我了……
下面再详细讲讲我用LaTeX排版书籍的过程。普通文档用LaTeX自带的文档类模版，如article，book即可。加宏包ctex或者xeCJK可以实现对中文排版的支持。打数学公式需要添加相应的数学公式宏包。加宏包actuarialsymbol可以方便地打出寿险精算符号。宏包XSIM可以实现习题册的排版，类似一个简易的题库系统。要让书籍排版得更加美观，最好选择一个适用的模版。LaTeX模版的制作需要自定义宏的知识，有一定的门槛，所以大多数用户（比如我）是用的别人做的模版。我排版的精算制度用的是ElegantBook的模版（TeX源码的github链接：https://github.com/ElegantLaTeX/ElegantBook，也有微信公众号，名为ElegantLaTeX）。正在排版中的精算书籍是把ElegantBook文档类模板和XSIM宏包一起用（冲突部分的代码要注释掉），这样可以很方便地管理各章的习题（分标签管理：IFoA，SOA，CAA等等）。
最后，LaTeX在SCI论文的绘图上也有妙用。你能想象出来的图用TikZ和PGF宏包都可以画出来，而且非常精致，唯一缺点是比较耗时。这是我目前准备开始学习的内容，也是一个不亚于精算的大坑了。
看了上一篇《恋爱险的起源》的朋友们应该都了解MGF这个梗了。没看过上一篇，真的以为MGF是My Girlfriend才点进来看的同学，请自行面壁思过，不好好考精算证，想什么女朋友（手动doge）。
进入正题。MGF的全称是Moment Generating Function，即矩量母函数。在统计学中，矩又被称为动差(moment)。因此，矩量母函数(Moment Generating Function,简称MGF)又被称为动差生成函数。MGF是IFoA CT3第五章的内容。
首先，我们引入MGF的定义。
随机变量 $X$ 的矩量母函数 $M_{X} (t)$ 对所有存在期望值的 $t$ 定义为：
$$
M_{X} (t)=E[ e^{tX} ]
$$
我们知道，期望的公式为
$$
E[ g(x)]=\left{
\begin{array}{l}
\sum\limits_{x}^{}g(x)P(X=x) ,若X离散 \
\int\nolimits_{\text{-} \infty }^{\infty }g(x)f_{X} (x)dx,若X连续
\end{array}
\right.
$$
因此，可以推出MGF的公式为
$$M_{X} (t)=E[ e^{tX} ]=\left{
\begin{array}{l}
\sum\limits_{x}^{}e^{tx} P(X=x) ,若X离散 \
\int\nolimits_{\text{-} \infty }^{\infty }e^{tx} f_{X} (x)dx,若X连续
\end{array}
\right. $$
我们把 $M_{X} (t)$ 称为矩量母函数，因为 $X$ 的所有矩能由 $M_{X} (t)$ 相继求微分得到。例如：
$$
M_{X} ^{'} (t)=\frac{d}{dt} E[ e^{tX} ]=E[ \frac{d}{dt} (e^{tX} )]=E[ Xe^{tX} ]
$$
因此，
$$M_{X} ^{'} (0)=E[ X]$$
类似地，
$$M_{X} ^{''} (t)=\frac{d}{dt} M_{X} ^{'} (t)=\frac{d}{dt} E[ Xe^{tX} ]=E[ \frac{d}{dt} (Xe^{tX} )]=E[ X^{2} e^{tX} ]$$
所以，
$$M_{X} ^{''} (0)=E[ X^{2} ]$$
一般地，$M_{X} (t)$ 的 $n$ 阶导数在 $t=0$ 时等于 $E[ X^{n} ]$，也就是说，
$M_{X} ^{(n)} (0)=E[ X^{n} ],n\geq 1$
我们换种方法再证明一次：
首先将 $M_{X} (t)$ 各项根据泰勒级数展开：
$$
\begin{array}{l}
M_{X} (t)=E(e^{tX} )=E(1+tX+\frac{t^{2} }{2!} X^{2} +\frac{t^{3} }{3!} X^{3} +...) \
=1+tE[ X]+\frac{t^{2} }{2!} E[ X^{2} ]+\frac{t^{3} }{3!} E[ X^{3} ]+...\end{array}
$$
在 $M_{X} (t)$ 的展开式中，第 $r$ 项为 $\frac{t^{r} }{r!} E[ X^{r} ]$
对 $M_{X} (t)$ 求一阶导：
$$M_{X} ^{'} (t)=E[ X]+tE[ X^{2} ]+\frac{t^{2} }{2!} E[ X^{3} ]+...$$
所以，
$$M_{X} ^{'} (0)=E[ X]$$
对 $M_{X} (t)$ 求二阶导：
$$M_{X} ^{''} (t)=E[ X^{2} ]+tE[ X^{3} ]+...$$
所以，
$$M_{X} ^{''} (0)=E[ X^{2} ]$$
接下来，我们以泊松分布为例，介绍如何计算特定分布的矩量母函数。
已知 $X\sim poi(\lambda )$，那么
$$
\begin{array}{l}
M_{X} (t)=E[ e^{tX} ] \
=\sum\limits_{}^{}e^{tX} P(X=x) \
=\sum\limits_{}^{}e^{tx} \frac{\lambda ^{x} }{x!} e^{-\lambda } \
=e^{-\lambda } \sum\limits_{}^{}\frac{(\lambda e^{t} )^{x} }{x!} \
=e^{-\lambda } e^{\lambda e^{t} } \
=e^{\lambda (e^{t} -1)} \end{array}
$$
考试中可能会出现这种题型，但如果题目中没有特别的要求，我们无需背诵每个分布对应的矩量母函数。直接查找公式书即可。
矩量母函数的一个重要性质是，独立随机变量和的矩量母函数正是单个矩量母函数的乘积。
为了理解这一点，假设$X$和$Y$是独立的，它们分别有矩量母函数 $M_{X} (t)$ 和$M_{Y} (t)$，那么 $X+Y$ 的矩量母函数 $M_{X+Y} (t)$ 是：
$$M_{X+Y} (t)=E[ e^{t(X+Y)} ]=E[ e^{tX} e^{tY} ]=E[ e^{tX} ]E[ e^{tY} ]=M_{X} (t)M_{Y} (t)$$
矩量母函数的另一个重要性质是，矩量母函数唯一地确定了分布。这就是说，在随机变量的矩量母函数和分布函数之间存在一一对应关系。
这个性质的一个重要应用是，如果两种概率分布的MGF相同，那么他们的概率密度函数（概率分布也相同）。因此，只要推导出复合函数的MGF的表达式，就可以知道复合函数的概率分布。
这样说可能还有点抽象，不要着急，我们来举例说明。
例：如果 $X$ 和 $Y$ 分别是以 $(n,p)$ 和 $(m,p)$ 为参数的独立二项随机变量，那么 $X+Y$ 的分布是什么？
解：
$X+Y$ 的矩量母函数为：
$$M_{X+Y} (t)=M_{X} (t)M_{Y} (t)=(pe^{t} +1-p)^{n} (pe^{t} +1-p)^{m} =(pe^{t} +1-p)^{n+m} $$
而 $(pe^{t} +1-p)^{n+m}$ 正是以 $(n+m,p)$ 为参数的二项随机变量的矩量母函数，从而它一定是 $X+Y$ 的分布。即是说，$X+Y$ 的分布为以 $(n+m,p)$ 为参数的二项分布。
可以说，MGF概念的引入让CT3变得生动起来。通过MGF，我们可以很方便地推导概率分布的种种性质，而无需重复地使用积分求解。矩的推导，独立随机变量线性组合的概率分布，复合分布的性质，都因为MGF的引入变得非常简单。
如果你很遗憾地想，自己不仅没有Girlfriend，连矩量母函数都看不懂，那该怎么办呢？没关系，除了MGF以外，母函数还包括累计量母函数（cumulant generating function，简称CGF），概率母函数（probability generating function，简称PGF）。它们都使得矩的推导变得相当便捷。CGF，PGF，MGF，看懂其中一种，其余两种自然就懂了。
CGF，MGF和PGF之间存在一些对应关系，比如，CGF是MGF的对数；而将PGF中的$t$换成$e^{t} $，即可得到MGF。三者原理相似，这里不再赘述，请自行参阅教材。
用MGF的相关知识证明以下结论：
如果随机变量$X$服从参数为$(\alpha ,\lambda )$的伽马分布，那么$2\lambda X$服从自由度为$2\alpha $的卡方分布。
{% raw %}
<details>
<summary>
证明：
</summary>
{% endraw %}
查表可知，伽马分布的矩量母函数
$$M_{X} (t)=(1-\frac{1}{\lambda} )^{-\alpha } $$
当 $Y=a+bX$，
$$M_{Y} (t)=E[ e^{tY} ]=E[ e^{t(a+bX)} ]=e^{at} E[ e^{btX} ]=e^{at} M_{X} (bt)$$
这里，$a=0$，$b=2\lambda $，所以：
$$M_{Y} (t)=M_{X} (2\lambda t)=(1-\frac{2\lambda t}{\lambda } )^{-\alpha } =(1-2t)^{-\alpha } $$
这正是自由度为 $2 \alpha $ 的卡方分布的矩量母函数。
因此，$2\lambda X$ 服从自由度为 $2\alpha $ 的卡方分布。
{% raw %}</details>{% endraw %}